


%%%%%  กรุณาอย่าแก้ไข ส่วนนี้ 
\newpage 
\addcontentsline{toc}{chapter}{บทคัดย่อ} % คำสั่งใส่ ชื่อ บทคัดย่อ  สารบัญ
\noindent\hspace*{-3 mm}
\begin{tabular}{ l  l   L{11.5 cm} }
\textbf{หัวข้อ} &  \textbf{(ภาษาไทย)} &  \projecttitleinThai   
\\ [2mm]
 & \textbf{(ภาษาอังกฤษ)} & \projecttitleinEng 
\\ [2mm]
\multicolumn{ 2 }{l}{\textbf{ชื่อผู้ทำการค้นคว้าอิสระ}}   & \projectauthor ~ รหัสนักศึกษา \studentid
\\ [2mm]
\multicolumn{ 2 }{l}{\textbf{ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา}}   &  \mainadvisor
\\ [2mm]
\multicolumn{ 2 }{l}{\textbf{ชื่อกรรมการสอบ}}   &  \firstcommittee
\ifthenelse{\numberofexamer = 3}
{
\\ [2mm]	
\multicolumn{ 2 }{l}{ }   &  \secondcommittee
}{}
\end{tabular}
\\\\



%%%%% เริ่มพิมพ์บทคัดย่อ
\begin{center}
	\textbf{บทคัดย่อ}
\end{center}

ในการค้นคว้าอิสระนี้เราได้แรงบันดาลใจจากการศึกษาบทความของ Dae S. Hong เรื่อง When is the
generating function of Fibonacci numbers an integer? ซึ่งในบทความได้แสดงว่ามีจํานวนจริงหนึ่งชุดที่ทําให้ฟังก์ชันก่อกําเนิดของจํานวนลูคัส (the generating function of Lucas numbers) เป็นจํานวนเต็ม สําหรับการค้นคว้าอิสระนี้เป็นการหาจํานวนจริงที่นอกเหนือจากบทความของ Dae S. Hong ทั้งหมดที่ทําให้ฟังก์ชันก่อกําเนิดของจํานวนลูคัสเป็นจํานวนเต็ม รวมถึงตรวจสอบคุณสมบัติที่สอดคล้องทั้งหมดของจํานวนจริงที่ทําให้ฟังก์ชันก่อกําเนิดของจํานวนลูคัสเป็นจํานวนเต็ม

\midbox{ แก้ไขบทคัดย่อ \textbf {Right Click --> Go to Source } }

\begin{center}
	\textbf{Abstract}
\end{center}


In this independent study, we have a motivation from the study of Dae S. Hong Journal
on the topic “When is the generating function of Fibonacci numbers an integer?”. In the work,
he showed that there is a group of real numbers that induce integer values of the generating
function of Lucas numbers. In this work, we investigate in addition to all Dae S. Hong's work that
give the integer values of the generating function of Lucas numbers. Including to checking all
corresponding properties that induce integer values of the generating function of Lucas
numbers. 

 